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非线性系统

1. 求根问题​

对于 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}，找到 x∗x^* 使得 f(x∗)=0f(x^*)=0

x∗x^* 也可能是多变量

解法： 使用二分法：

  1. 对于连续函数 f(x)f(x)，找到 l,r∈Rl,r\in \mathbb{R} 使得 f(l)f(r)<0f(l)f(r)<0
  2. 计算 c=l+r2c=\frac {l+r}{2}, 若 f(c)=0f(c)=0, 结束
  3. 若 f(c)f(l)<0f(c)f(l)<0，采用 cc 作为新的 rr；否则，采用 cc 作为新的 ll
  4. 当 ∣r−l∣<ε\lvert r-l\rvert < \varepsilon 后，cc 可以视为 x∗x^*

2. 求不动点问题​

不动点问题 f(x)=xf(x)=x 可以视为 f(x)−x=0f(x)-x=0 的求根问题。

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解法： 迭代法：令 xk+1=f(xk)x_{k+1}=f(x_k)，直到 ∣xk−xk+1∣<ε\lvert x_k-x_{k+1}\rvert<\varepsilon （前提条件：ff 满足 Lipschitz 条件）

由于迭代法往往是按照平方收敛的，所以其收敛速度往往更快。

3. 牛顿法​

解方程 f(x)=0f(x)=0

可以使用牛顿法：

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}

要求: ff 在 xkx_k 附近是可微的，且 f′(x∗)≠0f'(x^*)\neq 0

4. Secant 法​

解方程 f(x)=0f(x)=0

可以使用 Secant 法：

xk+1=xk−f(xk)(xk−xk−1)f(xk)−f(xk−1)x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}