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特征值

1. 幂法求特征值​

问题：求 AA 的特征值。

1.1 做法​

  1. 初始化：选择一个初始向量 x0\mathbf{x}_0（通常为随机向量）。
  2. 迭代：计算 xk+1=Axk∥Axk∥\mathbf{x}_{k+1} = \frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|}，其中 AA 是给定矩阵，∥⋅∥\|\cdot\| 是某种范数（通常为欧几里得范数）。
  3. 收敛：当 xk+1\mathbf{x}_{k+1} 与 xk\mathbf{x}_k 足够接近时，停止迭代。此时 xk+1\mathbf{x}_{k+1} 近似为矩阵 AA 的主特征向量，而主特征值可以通过 λ≈xk+1TAxk+1xk+1Txk+1\lambda \approx \frac{\mathbf{x}_{k+1}^T A \mathbf{x}_{k+1}}{\mathbf{x}_{k+1}^T \mathbf{x}_{k+1}} 计算得到。

1.2 幂法的适用条件​

  1. 矩阵 AA 必须有主特征值，即存在一个特征值 λ1\lambda_1，使得 ∣λ1∣>∣λ2∣≥∣λ3∣≥⋯≥∣λn∣|\lambda_1| > |\lambda_2| \geq |\lambda_3| \geq \cdots \geq |\lambda_n|，其中 λ2,λ3,…,λn\lambda_2, \lambda_3, \ldots, \lambda_n 是其他特征值。
  2. 矩阵 AA 必须是方阵，即 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}。
  3. 初始向量 x0\mathbf{x}_0 不能与主特征向量正交，否则迭代过程中无法收敛到主特征向量。

1.3 收敛速度​

幂法的收敛速度与主特征值 λ1\lambda_1 和次主特征值 λ2\lambda_2 之间的差距有关。具体来说，收敛速度可以用以下公式表示：

lim⁡k→∞∥xk+1−xk∥∥xk−xk−1∥=∣λ2∣∣λ1∣.\lim_{k \to \infty} \frac{\|\mathbf{x}_{k+1} - \mathbf{x}_k\|}{\|\mathbf{x}_k - \mathbf{x}_{k-1}\|} = \frac{|\lambda_2|}{|\lambda_1|}.