量子力学入门

1. 光的波粒二象性

• 光的波动性：光在光源和探测器之间以概率波的形式传播，概率波具有叠加性，$p\propto |\vec E|^2$.
• 光的粒子性：光以光子的形式产生，光是由光子组成的能量流，光作为光子在探测器中被吸收。可以测量光子的能量，动量，角动量。

2. 物质波

2.1 德布罗意关系

$$\begin{aligned} E &= h\nu \\ p &= \frac{h}{\lambda} \end{aligned}$$

2.2 物质波的实验验证

• 戴维孙-革末实验

经过电压 $U$，考虑相对论效应，得

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU+\frac{e^2}{c^2}U^2}}$$

• 电子衍射-布拉格公式

$$n\lambda = 2d\sin\theta$$

3. 波函数

3.1 波函数的统计意义

类比具有确定频率的光子, 具有确定动量与能量的自由粒子的波函数为平面波 $\psi(\vec{r},t)$

则波函数表示为

$$\Psi(x,t) = \psi_0 \cdot e^{i(px-E t)}$$

粒子的状态由 $\psi(x)$ 描述。粒子出现在位置 𝑥 处的位置 概率振幅 就是波函数 $\psi(x)$。

• 测量到粒子出现在 $[x,x+\mathrm d x]$ 区间的概率

  $$\mathrm d P=|\psi(x)|^2\mathrm d x$$

• 位置概率密度：

  $$\rho(x)=|\psi(x)|^{2}=\psi^{*}(x)\psi(x)$$

• 粒子出现在有限间隔 $[a,b]$ 的概率：

  $$P_{ab}=\int_a^b \rho(x)\mathrm d x$$

3.2 波函数的乘积与叠加

波函数的乘积: 如果一个事件的发生过程可以看成是 分几步发生, 比如光的不相符实验中光子先从光源到达分光器, 再从分光器到达光电倍增管, 则波函数应该是每一步对应的波函数的乘积.

波函数的叠加性: 如果一个事件的发生是可以 通过多种途径发生, 比如双缝实验中测量光子出现在某个位置, 则波函数应该是所有可能途径的波函数的叠加。

3.3 波函数的条件

• 连续性：波函数及其导数在空间中是连续的。
• 有限性：波函数在任意区间 $[a,b ]$ 内平方可积。

$$\int_{b}^{a}\lvert \psi(x)\rvert ^2 \text{d}x < \infty$$

• 单值性：只有一个函数值和变量对应。
• 归一化条件。

3.4 不确定性关系

• 位置不确定性：$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。
• 能量不确定性：$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$。

4. 薛定谔方程

含时薛定谔方程：

$$i\hbar\frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r},t)\right)\Psi(\vec{r},t)$$

其中 $\nabla ^2$ 是拉普拉斯算子：

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

4.1 定态薛定谔方程

设 $\Psi =\psi e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$

则有

$$\begin{aligned} E\psi &= \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V\right) \psi \end{aligned}$$

含时薛定谔方程的一般解为：

$$\begin{aligned} \Psi(\vec{r},t) &= \sum_n c_n \psi_n e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t} \end{aligned}$$

其中 $c_n$ 为待定系数，为常复数

5. 一维定态问题

5.1 无限深势阱

无限深势阱的势能 $V(x)$ 满足

$$V(x) = \left\{ \begin{aligned} 0, & \quad 0<x<a \\ \infty, & \quad \text{otherwise} \end{aligned} \right.$$

解薛定谔方程，得

$$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$$

能级 $E_n$ 表达式为：

$$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$

5.2 有限深势阱

有限深势阱的势能 $V(x)$ 满足

$$V(x) = \left\{ \begin{aligned} -V_0, & \quad 0<x<a \\ 0, & \quad \text{otherwise} \end{aligned} \right.$$

解薛定谔方程，得

$$\begin{aligned} \psi(x) &= A e^{ikx} + B e^{-ikx} \\ k &= \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \end{aligned}$$

对于有限深势阱，必然存在束缚态

5.3 一维方势垒

设势能 $V(x)$ 满足

$$V(x) = \left\{ \begin{aligned} V_0, & \quad 0<x<a \\ 0, & \quad \text{otherwise} \end{aligned} \right.$$

5.4 一维谐振子

一维谐振子的势能 $V(x)$ 满足

$$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$$

故定态薛定谔方程为

$$\begin{aligned} E\psi(x) &= \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)\psi(x) \end{aligned}$$

记 $\alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ ， $\xi = \alpha x$，$\lambda= \frac{2E}{\hbar\omega}$，则有

$$\begin{aligned} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}\xi^2} &= (\xi^2 - \lambda)\psi \end{aligned}$$

得到能量本征函数 $\psi_n(x) = N_n e^{-\frac{1}{2}\xi^2} H_n(\xi)$

其中 $H_n(\xi)$ 是 Hermite 多项式，$N_n$ 是归一化常数。

解法：（升降算符）

记算符 $\hat{a_{-}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} + i\hat{p})$，$\hat{a_{+}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} - i\hat{p})$，则有

$$\begin{aligned} \hat{a_{-}}\psi_n &= \sqrt{n}\psi_{n-1} \\ \hat{a_{+}}\psi_n &= \sqrt{n+1}\psi_{n+1} \end{aligned}$$

且 $\hat{H} = \hbar \omega (\hat{a_{-}}\hat{a_{+}} - \frac{1}{2}), [\hat{a_{-}}, \hat{a_{+}}] = 1$

而 $\hat{H}\hat{a}_{+}\psi = (E+\hbar\omega)\hat{a}_{+}\psi$，$\hat{H}\hat{a}_{-}\psi = (E-\hbar\omega)\hat{a}_{-}\psi$

由 $\hat{a}_{-}\psi_0 = 0$，可得 $\psi_0 = \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}}e^{-\frac{1}{2}\xi^2}$