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固体物理初步

1. Drude 模型​

1.1 基本假设​

  • 自由电子气体：假设金属中的电子可以被看作是在金属晶格中自由运动的气体粒子，这些电子之间以及电子与晶格之间的相互作用被忽略，只考虑电子与晶格的碰撞。
  • 经典力学：电子的行为可以用经典力学来描述，电子在两次碰撞之间做匀速直线运动。
  • 随机碰撞：电子与晶格的碰撞是随机的，每次碰撞后电子的速度方向完全随机，但大小不变。

1.2 电流的形成​

  • 当在金属中施加一个外电场E\mathbf{E}时，自由电子在电场的作用下会获得一个加速度a=−eEm\mathbf{a} = -\frac{e\mathbf{E}}{m}，其中ee是电子的电荷量，mm是电子的质量。
  • 电子在两次碰撞之间会获得一定的速度增量，但由于碰撞的存在，电子无法一直加速下去。经过多次碰撞后，电子会达到一个稳态的漂移速度vd\mathbf{v}_d。
  • 漂移速度与电场的关系为：
vd=−μE \mathbf{v}_d = -\mu \mathbf{E}

其中，μ=eτm\mu = \frac{e\tau}{m}是电子的迁移率，τ\tau是电子的平均自由时间（即两次碰撞之间的时间间隔）。

1.3 电流密度​

  • 电流密度J\mathbf{J}可以表示为自由电子的漂移速度与电子密度nn的乘积：
J=−nevd=neμE=σE \mathbf{J} = -n e \mathbf{v}_d = n e \mu \mathbf{E} = \sigma \mathbf{E}

其中，σ=ne2τ/m\sigma = n e^2 \tau / m是金属的电导率，它是 Drude 模型的核心结果之一，表明电导率与电子密度、电子的平均自由时间和电子质量有关。

1.4 电阻率​

  • 电阻率ρ\rho是电导率的倒数：
ρ=1σ=mne2τ \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^2 \tau}

这表明电阻率与电子密度成反比，与平均自由时间成反比。

1.5. 热导率​

  • Drude 模型也可以用来解释金属的热传导。电子在运动过程中会携带热量，热导率κ\kappa可以表示为：
κ=13CvvFλ \kappa = \frac{1}{3} C_v v_F \lambda

其中，CvC_v 是电子的比热容，vFv_F 是费米速度，λ\lambda 是平均自由程（λ=vFτ\lambda = v_F \tau）。

2. 周期势​

2.1 布洛赫定理​

设粒子的能量本征方程的相应于同一个能量本征值E的两个线性无关解为 u1(x)u_1(x) 及 u2(x)u_2(x)，设彼此正交归一. 进行适当的线性叠加，总可以找到两个解 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2，使得 ψ(x+a)=Cψ(x)\psi(x+a) = C\psi(x)