2.4 随机变量的函数及其分布

已知 $Y=g(X)$ 以及 $X$ 的分布特性，求 $Y$ 的分布特性

1. 离散型随机变量函数的概率分布

2. 连续型随机变量函数的概率分布

定理

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，$Y=g(X)$ 是 $X$ 的函数，且 $g'(x)$ 在 $X$ 的值域内连续，则 $Y$ 的概率密度为

$$f_Y(y)=\lvert h'(y)\rvert \cdot f_X[h(y)], \alpha < y< \beta$$

其中 $h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数，

$$\alpha = \min \{g(-\infty,+\infty)\}, \beta = \max\{g(-\infty,+\infty)\}$$

推广：

Tips：连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量

结论