2.2 离散型随机变量及其概率分布

定义： 若随机变量 $X$， $X$ 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 $X$ 为离散型随机变量.

1. 离散型随机变量的分布列 ：

• 非负性 $p(x_i) \geq 0$
• 规范性 $\sum_{k=1}^{+\infty} p(x_k) = 1$
• 分布函数 $F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)$， $p_{k} = F(x_{k})-F(x_{k-1})$

2 . 常见离散型随机变量的分布

2.1 0-1 分布（两点分布）

$P(x=k)=p^k(1-p)^k$

2.2 二项分布 ($n \to \infty$ 时，趋于正态分布)

对于 $n$ 重 Bernouli 实验，有 $P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 称 $X$ 为服从参数为 $n,p$ 的二项分布，记为 $X \sim B(n,p)$

Tips：0-1 分布是二项分布的特殊情况，即 $n=1$

二项分布的最可能成功次数：

• 若 $(n+1)p \in \mathbb{Z}$，在 $k=(n+1)p$ 与 $k=(n+1)p-1$ 处取最大值
• 若 $(n+1)p \notin \mathbb{Z}$，在 $k=[(n+1)p]$ 处取最大值

Poisson 定理：设 $\lim_{ n \to \infty }np_{n} = \lambda > 0$，则对固定的 $k$

$$\lim_{ n \to \infty }C_{n}^{k}p_{n}^k(1-p_{n})^{n-k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda ^ k}{k!}$$ $$k=0,1,2, \dots$$

在实际计算中，当 $n \geq 20, p\leq 0.05$ 时可以用 Poisson 分布近似

2.3 Poisson 分布

若随机变量的分布律为

$$P(x=k)=e^{- \lambda} \frac{\lambda ^ k}{k!}$$

其中 $\lambda >0$ 是常数，则称 $X$ 为服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布，记为 $X \sim P(\lambda)$,或 $X \sim \pi (\lambda)$

源源不断出现的随机事件流，若它们满足一定的条件，则在长为 $t$ 的时间段内出现的事件数 $X_{t}=P(\lambda t)$

2.4 几何分布

$$P(x=k)=(1-p)^{k-1}p$$

其中 $0<p<1$， $k=1,2,3, \dots$

2.5 Pascal 分布

$$P(x=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$$

其中 $r=1,2,3, \dots$， $k=r,r+1, \dots$