5.3 中心极限定理

1. 独立同分布中心极限定理

设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，期望 $E(X_i)=\mu$，方差 $D(X_i)=\sigma^2$，则对于任意实数 $x$，有

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq x\right) = \Phi(x) \end{aligned}$$

即 $n$ 足够大时，随机变量 $Y_n= \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ 的分布近似于标准正态分布。 或者 $\sum_{k=1}^{n}X_k \sim N(n\mu, n\sigma^2)$

2. DeMoivre-Laplace 中心极限定理

设 $Y_n\sim B(n,p), 0<p<1, n=1,2,\cdots$, 则对任一实数 $x$，有

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} P\left(\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\right) = \Phi(x) \end{aligned}$$

即对任意的 $a<b$，

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} P(a\leq \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq b) = \Phi(b) - \Phi(a) \end{aligned}$$

或者 $Y_n\sim N(np, np(1-p))$