5.1 切比雪夫不等式

1. Chebyshev 不等式

设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$ 存在，则对于任意实数 $\varepsilon>0$,

$$P\left(|X-E(X)| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$$

或

$$P\left(|X-E(X)| < \varepsilon\right) \geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$$

Proof:

$$\begin{aligned} P\left(|X-E(X)| \geq \varepsilon\right) &= P\left((X-E(X))^{2} \geq \varepsilon^{2}\right) \\ & \leq \frac{E\left((X-E(X))^{2}\right)}{\varepsilon^{2}} \\ & = \frac{D(X)}{\varepsilon^{2}} \end{aligned}$$

2. 依概率收敛

设 ${Y_n}$ 是随机变量序列，$a$ 是一个常数，如果对于任意 $\varepsilon>0$, 有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(|Y_{n}-a| \geq \varepsilon\right)=0$$

则称随机变量序列 ${Y_n}$ 依概率收敛于随机变量 $Y$，记为 $Y_{n} \xrightarrow[n\to\infty]{P} a$。